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Sistemas de Ecuaciones
Guía pública de estudio
Despliega cada actividad para consultar su resumen, objetivos y datos de estudio antes de acceder al recurso interactivo.
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Lección 1
Sistema de Ecuaciones. Sustitución
Resumen de la lección
La lección presenta el método de sustitución para resolver un sistema de dos ecuaciones, dentro de los tres métodos citados: sustitución, igualación y reducción. Se trabaja con el sistema x + y = 5 y 2x − y = 10. El primer paso consiste en despejar una incógnita en la ecuación más sencilla; en este caso, x = 5 − y. Después, esta expresión se sustituye en la otra ecuación: 2(5 − y) − y = 10. Al eliminar el paréntesis y simplificar, se obtiene 10 − 3y = 10, de donde resulta y = 0. Con este valor se recupera la incógnita despejada: x = 5 − 0, por lo que x = 5. Finalmente, se comprueba la solución sustituyendo ambos valores en las dos ecuaciones originales: 5 + 0 = 5 y 2·5 − 0 = 10.
Objetivos de aprendizaje
- Despejar una incógnita en una ecuación del sistema.
- Sustituir la expresión despejada en la otra ecuación.
- Calcular la segunda incógnita a partir del valor obtenido.
- Comprobar la solución en las ecuaciones originales.
Puntos clave
- La sustitución parte de despejar una incógnita en una de las ecuaciones.
- Conviene elegir la expresión más sencilla para realizar el despeje.
- Al sustituir, se mantiene el resto de la ecuación y se usan paréntesis cuando corresponde.
- Para el sistema trabajado, la solución es x = 5 e y = 0.
- La comprobación verifica que los valores cumplen las dos ecuaciones.
Versión editorial de Opocamp (Clictic S.L.) aprobada el 29 jul 2026.
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Lección 2
Sistema de Ecuaciones. Igualación
Resumen de la lección
El método de igualación permite resolver un sistema despejando la misma incógnita en las dos ecuaciones. En el sistema trabajado, se despeja y: en la primera ecuación queda y = 5 − x y en la segunda, y = 2x − 10. El nombre del método procede de que ambas expresiones representan a la misma incógnita, por lo que pueden igualarse.
Al igualar 5 − x y 2x − 10, se obtiene una ecuación con una sola incógnita. Al reorganizar sus términos resulta 15 = 3x, de donde x = 5. Para hallar y, se sustituye este valor en cualquiera de las expresiones ya despejadas. Usando y = 5 − x, se obtiene y = 0. La solución coincide con la obtenida previamente mediante sustitución.
Objetivos de aprendizaje
- Despejar una misma incógnita en las dos ecuaciones de un sistema.
- Igualar las expresiones obtenidas para resolver una ecuación de una incógnita.
- Calcular la segunda incógnita sustituyendo el valor encontrado.
Puntos clave
- La igualación exige despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones.
- Las dos expresiones despejadas se igualan entre sí.
- En el ejemplo, x = 5 e y = 0.
- Para obtener y se puede usar cualquiera de las expresiones despejadas.
Versión editorial de Opocamp (Clictic S.L.) aprobada el 29 jul 2026.
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Lección 3
Sistema de Ecuaciones. Reducción
Resumen de la lección
El método de reducción resuelve un sistema operando entre sus dos ecuaciones: se suman o se restan según convenga para eliminar una de las incógnitas. En el sistema x + y = 5 y 2x − y = 10, las dos ecuaciones se pueden sumar directamente porque y aparece con coeficiente 1 en ambos casos, pero con signos opuestos. Así, +y y −y se anulan.
Al sumar, se obtiene 3x = 15, por lo que x = 5. Para hallar la otra incógnita, se sustituye este valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales. Usando x + y = 5, resulta 5 + y = 5, de donde y = 0. La reducción es un procedimiento rápido cuando una incógnita presenta coeficientes que permiten cancelarla al operar con las ecuaciones.
Objetivos de aprendizaje
- Identificar cuándo la suma o resta de ecuaciones elimina una incógnita.
- Resolver la incógnita restante tras realizar la reducción.
- Sustituir el valor obtenido en una ecuación para calcular la segunda incógnita.
Puntos clave
- En reducción se opera entre las dos ecuaciones del sistema.
- La suma de términos con signos opuestos puede hacer desaparecer una incógnita.
- En el ejemplo, al sumar las ecuaciones se obtiene 3x = 15.
- Con x = 5, la sustitución permite obtener y = 0.
Versión editorial de Opocamp (Clictic S.L.) aprobada el 29 jul 2026.
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Lección 4
SIstema de Ecuaciones. Ejercicio
Resumen de la lección
El ejercicio parte de buscar una fracción equivalente a 4/5 cuyos términos, al restarles 3 unidades, formen la fracción 3/4. Se representan el numerador y el denominador mediante las incógnitas x e y, planteando x/y = 4/5 y (x − 3)/(y − 3) = 3/4. Al multiplicar en cruz y simplificar, se obtiene el sistema 5x − 4y = 0 y 4x − 3y = 3. La resolución se realiza por reducción. Para eliminar x, se multiplica la primera ecuación por 4 y la segunda por 5, consiguiendo coeficientes 20x. Al restar las ecuaciones se calcula y = 15. Sustituyendo este valor en una de las ecuaciones iniciales se obtiene x = 12. Por tanto, la fracción buscada es 12/15. También se muestra cómo comprobar opciones dadas: cada posible pareja debe verificar las dos ecuaciones, no solo la primera. La opción 12/15 cumple tanto la equivalencia con 4/5 como la condición obtenida al restar 3 a ambos términos.
Objetivos de aprendizaje
- Plantear un sistema a partir de dos condiciones expresadas mediante fracciones.
- Transformar proporciones en ecuaciones mediante multiplicación en cruz.
- Aplicar reducción cuando los coeficientes de una incógnita son distintos.
- Comprobar una solución u opción en las dos ecuaciones del sistema.
Puntos clave
- x e y representan el numerador y el denominador de la fracción.
- Las proporciones se simplifican multiplicando sus términos en cruz.
- Para aplicar reducción pueden multiplicarse las ecuaciones por coeficientes adecuados.
- La solución obtenida es x = 12 e y = 15.
- Una opción solo es válida si satisface todas las condiciones planteadas.
Versión editorial de Opocamp (Clictic S.L.) aprobada el 29 jul 2026.
Sobre esta materiaContenido, alcance y objetivos del recurso
Sistemas de Ecuaciones es una ficha educativa de Matemáticas en formato vídeo que presenta una introducción práctica a la resolución de sistemas de ecuaciones. El recurso se centra en tres métodos principales: sustitución, igualación y reducción, explicados a través de ejemplos prácticos para seguir cada procedimiento paso a paso. El alumnado puede comprender cómo se aplican estos enfoques en la resolución de sistemas y practicar su uso a partir de los casos propuestos. También permite relacionar el contenido con otros recursos vinculados sobre Sistema de Ecuaciones, Sustitución, Igualación, Reducción y un ejercicio específico. Puedes acceder gratis al registrarte en Opocamp.
Fuentes y revisión editorialCriterios de elaboración, referencias y correcciones
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