Divisibilidad

Vamos a los ejemplos. Bien, aquí nos dicen en el primero, halla el máximo común divisor de 143 y de 147. Tenemos 143 y 147. Claro, ahí si nos fijamos estos dos números fijados, no son ninguno divisible entre dos, por qué no terminan en cero ni en cifra par? No son divisibles entre tres porque la suma de sus cifras en ninguno de ellos, vale, nos da ni tres ni múltiplo de tres. Vale, bien, entonces aquí, por ejemplo, en este tengo cuatro y tres, siete y una ocho. No? Vale, aquí sí que me daría, Vale, aquí reijo. Así que aquí sí que me daría múltiplo de tres, vale? Pero como el otro, no es múltiplo de tres, vale, no vamos a tener ese número como factor común, con lo cual fijaros y me mandan calcular el máximo común divisor. Vale, el dos ya está claro que no sería porque ya dijimos que ninguno es divisible entre dos, el 143 es imposible. Tampoco puede ser vale.

Porque porque el 147 no tiene ese factor de 143, el cero no puede ser porque porque es súper importante, el máximo común divisor más pequeño vale de dos números, siempre es la unidad, con lo cual está claro que aquí, ya trabajando con las soluciones, ya tendríamos nuestros resultados sin lugar a dudas. Tiene que ser el uno, sí o sí, vale, porque es el único factor común que tienen esos dos números. Bien, por lo tanto, nos quedaríamos con la unidad. Es el único divisor común a los dos. Si calculamos el mínimo común múltiplo de 12, lo primero que tenemos que hacer para calcular el mínimo común múltiplo es descomponer los números en factores. Bien, vale. Entonces, por ejemplo, el 90 ya no podría ser porque el 100 180 ya es más grande, con lo cual en el mínimo común múltiplo, debemos elegir factores comunes y no comunes de mayor exponente.

O sea que si pueda ser un número grande, si yo descompongo el 12, fijaros 12 es divisible entre dos 12 entre dos y seis entre dos tres y entre tres a uno. Vale, entonces descompuesto en factores sería dos al cuadrado por tres. Vamos ahora como el 60, el 60 es divisible entre dos. Ponemos siempre en los divisores del lado de la derecha, y el resultado de las divisiones en el lado de la izquierda, 60 entre dos a a 30 entre dos a 15, entre tres a cinco y entre cinco a uno, es decir que es dos al cuadrado por tres y por cinco. Y vamos ahora con el 180, como terminan cero es divisible entre dos. Así que la mitad 90 90 también divisible entre dos 45, 45. La suma de sus cifras nos da tres o múltiplo de tres, cuatro más cinco nueve. Así que sería divisible entre tres, que son 15 entre tres cinco y entre cinco a uno.

Por lo tanto, sería dos al cuadrado por tres al cuadrado y por cinco, cuál sería el mínimo común múltiplo? Los factores comunes vale y no comunes de mayor exponente. Entonces el dos en su mayor exponente al cuadrado, el tres en su mayor exponente al cuadrado y el cinco en su mayor exponente sólo aparece el cinco. Vale, tres fijaros el dos, cogemos siempre el de mayor exponente al cuadrado sería el tres también. Algunos solo tienen un tres, pero el 180 tiene dos, tres, con lo cual cogemos esos dos, tres y después el cinco, el 12 no tiene el cinco, pero los otros sí. Así que se coge todo lo posible, comunes y no comunes de mayor exponente, con lo cual eso es ya el propio 180, con lo cual marcaríamos esta opción vale que se veía también ya. Muy bien, trabajando con las con las soluciones.

Bien, porque se ve muy bien, porque si os fijáis el 12, vale, y y el el el 60, vale, estarían contenidos, vale, dentro del 180, con lo cual quiere decir que el mínimo común múltiplo va a ser el número que es el más grande. Por tanto, este quedaría descartado. Y este de aquí también. Vale, vamos ahora a calcular en el tres, el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 60, de dieciséis, de 66 y de 90, claro, fijaros, si a mí me piden primero el máximo como un divisor y luego el mínimo como múltiplo está claro que me están pidiendo. El primer número es el pequeñito. Y el segundo es el grande, con lo cual fijaros ya así a ojo, la opción b y la opción c ya tendrían que estar descartadas. Bien, vale, eso por un lado.

Y la de también, porque buscamos como primer número una cantidad pequeña y como segundo número, una cantidad grande, vale, con lo cual con esto vale, si os fijáis, ya teníamos nuestra solución, nuestra opción, sí. O si tendría que ser la opción a, si ahora cogiésemos los números y los dos comiésemos en factores, aunque ya no nos ha había falta, vale, nos quedaría, venga el 60, ya lo hicimos antes, dos al cuadrado por tres y por cinco. El 16, venga, entre dos son ocho entre dos, cuatro entre dos, dos y entre dos a uno es dos a la cuarta, el 66 entre dos 33 entre tres 11 y entre 11 a uno. Por lo tanto, sería 11 por dos y por tres o dos por tres y por 11. Bien, y ahora vamos con el 90, el 90, lo tenemos a partir de aquí sch Hays, fijaros, encito. Lo veis que estoy marcando el ejercicio de arriba.

O sea que es un dos por un tres al cuadrado y por un cinco, dos por el tres al cuadrado y por el cinco, con lo cual máximo como un divisor. Cogemos los factores comunes de menor exponente. Qué tienen en común todos? Un dos algo más? No, porque los tres no lo tienen todos el tampoco lo tienen todos. Y el 11 tampoco, con lo cual ahí tenemos máximo un divisor el dos. Con eso ya lo tendríamos. Ahora, el mínimo como un múltiplo fijaros del mínimo como un múltiplo, debemos elegir los factores vale, comunes y no comunes de mayor exponente. O sea que el dos en su mayor exponente a la cuarta. Ahora el tres en su mayor exponente al cuadrado. Ahora el cinco y el 11 y el producto de todo esto, vale, no nos haría falta hacerlo. Es lo que nos va a dar el 20.

Bien, con lo cual ya tenemos nuestra solución, pero fijaros que ya la habíamos marcado al inicio del ejercicio sin en descomponer nada porque echándole un ojo a las opciones tres de las cuatro, las vamos a descartar por qué nos ponen el número primero más grande que el segundo. Y tiene que ser al revés. El máximo siempre va a ser más pequeñito que el mínimo. Un múltiplo. Bien,