Raíces

La multiplicación de raíces permite separar una raíz que contiene varios factores en el producto de las raíces de cada factor. Así, una expresión con 25, 36 y 100 puede resolverse calculando sus raíces por separado: 5, 6 y 10, y multiplicando después los resultados, obteniendo 300. Si las raíces son exactas, también puede hacerse directamente. En la división, una raíz en el numerador y otra en el denominador pueden expresarse conjuntamente o mantenerse separadas, siempre que tengan el mismo índice. Por ejemplo, las raíces de 25 y 36 equivalen a 5 y 6, por lo que su cociente es cinco sextos. Esta propiedad no se aplica a sumas ni restas. La suma de las raíces de 25, 9 y 4 es 5 + 3 + 2, es decir, 10. No equivale a sumar primero los números dentro de una única raíz, pues la raíz de 38 no da el mismo resultado.

La extracción de factores de una raíz consiste en sacar fuera los factores cuyo exponente es mayor o igual que el índice radical. Para ello se divide el exponente entre el índice: el cociente indica el exponente que sale y el resto, el que permanece dentro. En una raíz cuadrada, 5² sale como 5, 3⁴ como 3² y 7³ como 7·√7. También puede hacerse descomponiendo las potencias en grupos completos del tamaño del índice.

Las raíces anidadas se pueden sustituir por una sola raíz cuyo índice es el producto de todos los índices. Así, tres raíces cuadradas sucesivas equivalen a una raíz de índice 8, y los índices 2, 3 y 4 dan una raíz de índice 24.

El signo y la existencia de la raíz dependen del índice y del radicando. Con índice par y radicando positivo, el resultado es positivo; con índice par y radicando negativo no hay solución. Con índice impar, un radicando positivo da resultado positivo y uno negativo da resultado negativo. Por último, una potencia con exponente negativo se expresa como la inversa con exponente positivo: 5^(-1/3)=1/5^(1/3)=1/∛5.

Racionalizar consiste en eliminar la raíz del denominador sin cambiar el valor de la expresión, ya que se multiplica numerador y denominador por el mismo factor. El procedimiento depende del tipo de raíz o expresión presente en el denominador. Si el denominador contiene una raíz cuadrada, se multiplica arriba y abajo por esa misma raíz. Así, los factores del denominador forman un cuadrado que permite cancelar la raíz. Cuando la raíz tiene índice distinto de dos, se añaden los factores necesarios para que el exponente del radicando coincida con el índice. Por ejemplo, ante una raíz cúbica de cinco se multiplica por la raíz cúbica de cinco elevada al cuadrado: en el denominador se obtiene cinco al cubo dentro de una raíz cúbica y se simplifica. Si el denominador es una suma o diferencia con raíces, se multiplica por su conjugado, es decir, la misma expresión con el signo cambiado. El producto de suma por diferencia se transforma en una diferencia de cuadrados, lo que permite eliminar la raíz del denominador. En el caso de 1 dividido entre 1 más raíz de 2, el conjugado es 1 menos raíz de 2 y el denominador resultante es 1 menos 2.

La lección aplica propiedades de las raíces para resolver ejercicios de opción múltiple con rapidez. En una raíz cúbica, el índice impar permite que la solución conserve el signo del radicando: si este es positivo, se descartan las respuestas negativas. También se comparan órdenes de magnitud y se tantean las opciones elevándolas al cubo, sin necesidad de descomponer siempre el número en factores.

Para una raíz cuadrada de un número grande, se emplean dos pistas: la paridad de la terminación y las primeras cifras de las respuestas. Si una opción empieza por 3, su cuadrado comienza siendo al menos 9, por lo que puede descartarse frente a un radicando que empieza por 4. Cuando quedan dos alternativas, se inicia el algoritmo de la raíz cuadrada agrupando las cifras de dos en dos, de derecha a izquierda. Basta detenerse al obtener la cifra que distingue las opciones. El procedimiento continúa duplicando la parte ya hallada y eligiendo la cifra que aproxima el producto sin pasarse. En otro ejemplo, comparar 13²=169, 12²=144 y 11² permite identificar una solución que empieza por 12 sin calcular toda la raíz.