Raíces

Bien, vamos a racionalizar para racionalizar. Vale, lo que vamos a hacer es eliminar, vale, la raíz del denominador, es decir, en qué consiste racionalizar: en eliminar la raíz del denominador. Vale, tenemos varios tipos de racionalización en el primer tipo. Vale, vamos a tener una raíz cuadrada. Entonces, primer tipo: raíz cuadrada en el denominador. Vale, cómo eliminamos la raíz del denominador? Si es cuadrada, Vamos a multiplicar numerador y denominador por la raíz del denominador. Por lo mismo que ya teníamos, multiplicamos numerador y denominador por la raíz del denominador. Entonces me queda raíz de dos arriba y abajo. Cogeríamos las dos juntas y las pondríamos así. Raíz cuadrada de dos al cuadrado. Y ahora ya sabemos que cuadrado con este raíz cuadrada se nos va. Por lo tanto, nuestra solución sería raíz de dos partido dos, y ya habríamos solventado ese problema.

Ya hemos eliminado la raíz del denominador. Entonces, racionalizar consiste en eliminar la raíz del denominador. Vale, si me da una raíz cuadrada en el denominador, multiplicamos numerador y denominador por esa misma raíz cuadrada. Cuando yo tengo una expresión y multiplico y divido por lo mismo, es como no hacer nada porque la expresión no me va a variar. Entonces, porque lo hago porque quiero agrupar estas dos cosas del denominador juntas para decir cuadrado con raíz se me va. Vamos con el segundo tipo. Para el segundo tipo. Tenemos raíces, ¿Vale? Raíz distinta de cuadrada. Es decir, es para casos donde tenga una raíz cúbica, vale, raíz cuarta, raíz quinta, etcétera. Bien, vale, cómo tengo que trabajar con este tipo de ejercicios? O sea, a mí me pone uno partido la raíz cúbica de cinco. Vale, vamos a eliminar la raíz del denominador.

Vale, vamos a multiplicar numerador y denominador por la raíz del denominador, pero ahora tengo un pequeño problema. Yo tengo que echar las cuentas. Vale, yo no puedo multiplicar y dividir por raíz cúbica de lo que ya tenía de cinco. ¿Por qué? Porque si yo ahora cojo y agrupo esto, yo voy a tener una raíz cúbica de un cinco, pero al cuadrado y no me coincide este número con este de aquí no me llega. Vale? Así que me falta un cinco más y o no? Así que multiplicaríamos de nuevo otra vez por la raíz cúbica de cinco para que ahora, al agrupar los dos que ya tengo con uno más, me hagan en total los tres cinco al cuadrado por otro cinco más me hace ya un cinco al cubo. Sí o no. Y arriba raíz cúbica de cinco al cuadrado. Bien, ahora el cubo con este cubo se me iría y ya hemos llegado al resultado raíz cúbica de cinco al cuadrado, que es 25 partido cinco. Vale, bien, entonces esto lo puedo hacer rápido.

Podemos hacer uno partido, la raíz cúbica de cinco. Si multiplicamos numerador y denominador por la raíz cúbica de cinco elevado al cuadrado, vale, porque al cuadrado, porque a mí me dan solo un cinco dentro de una raíz cúbica. Y me hacen falta dos más para tener tres en total, porque quiero tres porque el índice es tres y necesito que me coincida el exponente del número con el índice de la raíz para poder simplificarlo. Entonces tengo solo un cinco. Si necesito tres, me faltan dos más. Por eso añadimos dos raíces cúbicas de cinco al cuadrado partido, una raíz de un cinco por otro cinco más hace cinco al cubo en total, cuando coincide el exponente y el índice de la raíz, yo ya los voy a poder simplificar y ser a mi objetivo en esa racionalización, eliminar la raíz del denominador total que al final nos quedamos con raíz cúbica de 25 partido cinco.

Igual que en el caso que os hice arriba, como os lo resolví a los pocos. Tengo una raíz cúbica de cinco. Yo multiplico y divido por lo mismo que ya tenía. Y me encuentro que tengo ahora dos cinco dentro de una raíz cúbica. Todavía no lo puedo simplificar. Así que me falta un cinco más dentro de la raíz cúbica para que al juntarlo con el cinco al cuadrado, me hagan cinco al cubo un cinco al cubo dentro de una raíz cúbica. Vale, ya puedo simplificar esos dos treses y me quedaría el cinco. Bien, con lo cual ya tendríamos resuelto nuestro objetivo. Íbamos ya con el tercer tipo de racionalización en el tercer tipo. Vale, vamos a tener una suma o una diferencia. Suma o diferencia. Vale, eh, con raíces en el denominador suma o diferencia con raíces en el denominador.

Bien, entonces si tenemos, por ejemplo, uno partido uno más la raíz de dos, vamos a tener que multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador. Vale, qué es eso del conjugado? Es la misma expresión con el signo cambiado. El conjugado del denominador es la misma expresión con el signo cambiado. Bien, vale, entonces es la única manera que tenemos para poder eliminar esa raíz en el denominador dentro de una suma o una resta la parte de arriba. Me queda igual uno menos raíz de dos. Y en la parte de abajo, qué vamos a hacer? Pues vamos a aplicar aquello que veíamos en las potencias. Vale? Veíamos que cuando tenemos a más b por a menos b, vale, suma, por diferencia. Se resuelve como diferencia de cuadrados. Si esto es a, y esto es, ve, esto es, está, y esto es se al cuadrado uno al cuadrado menos ve al cuadrado menos hay de dos al cuadrado.

Eso es lo que vamos a poner aquí Haciendo cuadrado con raíz se me va. Y mi problema ya está en solventado numerado. Uno menos raí de dos partido uno al cuadrado. Uno menos el dos, uno menos raíz de dos. Y en el denominador, uno menos dos, que sería menos uno. Voy a seguir por aquí. Vale? Cuando yo tengo uno menos raíz de dos partido, menos uno, ese menos puede estar ahí afectando al numerador. Lo puedo poner aquí, vale, en el numerador. Y ya si saco paréntesis, menos uno más raíz de dos. Es decir que todas estas expresiones son lo mismo, vale? Bien, pues ya tendríamos entonces los tres casos de racionalización vale resueltos.